ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಸಮಾನುಪಾತ (Ratio and Proportion)

Topiqos – KPSC/UPSC CSAT ಅಧ್ಯಯನ ಟಿಪ್ಪಣಿ

1. ಅನುಪಾತ ಎಂದರೇನು? (What is Ratio?)

ಎರಡು ಸಜಾತೀಯ ರಾಶಿಗಳ (same units) ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಅನುಪಾತ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

a : b ಎಂದರೆ a/b. ಇಲ್ಲಿ a – ಪೂರ್ವಪದ (antecedent), b – ಉತ್ತರಪದ (consequent).

ಉದಾಹರಣೆ: ರಾಮನ ಎತ್ತರ 180 cm, ಶ್ಯಾಮನ ಎತ್ತರ 120 cm. ಅವರ ಅನುಪಾತ = 180 : 120 = 3 : 2 (60 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ).

ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಗಳು

• ಅನುಪಾತ ಶುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ (ಘಟಕರಹಿತ).
• ಎರಡೂ ಪದಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ/ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಅನುಪಾತ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
• ಘಟಕಗಳು ಒಂದೇ ಇರಬೇಕು (ಗ್ರಾಂ–ಗ್ರಾಂ, ಸೆಕೆಂಡ್–ಸೆಕೆಂಡ್).

2. ಅನುಪಾತಗಳ ಬಗೆ

• ಸಮಾನ ಅನುಪಾತ: a : b :: c : d ಆದಾಗ.
• ಸಂಯುಕ್ತ ಅನುಪಾತ (Compound): (a:b) × (c:d) = ac : bd
• ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತ (Inverse): a : b ಯ ವಿಲೋಮ = b : a
• ಡುಪ್ಲಿಕೇಟ್ (Duplicate): a² : b²
• ಟ್ರಿಪ್ಲಿಕೇಟ್ (Triplicate): a³ : b³
• ಸಬ್-ಡುಪ್ಲಿಕೇಟ್: √a : √b

3. ಸಮಾನುಪಾತ (Proportion)

ನಾಲ್ಕು ರಾಶಿಗಳು a : b = c : d ಆದಾಗ ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು a : b :: c : d ಎಂದೂ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮುಖ ನಿಯಮ: a × d = b × c
(ವಿಪರ್ಯಯ ಗುಣಾಕಾರ – cross multiplication)

ಉದಾಹರಣೆ: 4 : 6 :: 10 : x. x ಎಷ್ಟು?
4 × x = 6 × 10 → x = 60/4 = 15

ಪ್ರಮುಖ ಪಾರಿಭಾಷಿಕ ಪದಗಳು

• ಮಧ್ಯಮ ಸಮಾನುಪಾತ (Mean proportion): a ಮತ್ತು b ಯ ಮಧ್ಯಮ ಸಮಾನುಪಾತ = √(ab)
• ಮೂರನೆಯ ಸಮಾನುಪಾತ (Third proportion): a : b :: b : x → x = b²/a
• ನಾಲ್ಕನೆಯ ಸಮಾನುಪಾತ (Fourth proportion): a : b :: c : x → x = bc/a

ಉದಾಹರಣೆ: 4 ಮತ್ತು 25 ರ ಮಧ್ಯಮ ಸಮಾನುಪಾತ = √(4 × 25) = √100 = 10.

4. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನುಪಾತದಂತೆ ವಿಭಜನೆ

ಒಂದು ರಾಶಿಯನ್ನು a : b : c ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಬೇಕಾದರೆ:

ಪ್ರತಿ ಪಾಲು = ಒಟ್ಟು × (ಆ ಭಾಗ / ಒಟ್ಟು ಪಾಲುಗಳು)

ಉದಾಹರಣೆ: ₹720 ಅನ್ನು 2 : 3 : 4 ರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಿ.
ಒಟ್ಟು ಭಾಗಗಳು = 2 + 3 + 4 = 9
ಒಂದು ಭಾಗ = 720/9 = ₹80
ಭಾಗಗಳು: 80 × 2 = ₹160, 80 × 3 = ₹240, 80 × 4 = ₹320.

5. ಪಾಲುದಾರಿಕೆ (Partnership)

• ಸರಳ ಪಾಲುದಾರಿಕೆ (Simple): ಎಲ್ಲರೂ ಒಂದೇ ಸಮಯ ಹೂಡಿಕೆ – ಲಾಭವು ಬಂಡವಾಳದ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಹಂಚಿಕೆ.
• ಸಂಯುಕ್ತ ಪಾಲುದಾರಿಕೆ (Compound): ಸಮಯ ಬೇರೆ ಬೇರೆ – ಲಾಭವು (ಬಂಡವಾಳ × ಸಮಯ) ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ.

ಉದಾಹರಣೆ: A ₹5000 ವನ್ನು 6 ತಿಂಗಳಿಗೆ, B ₹4000 ವನ್ನು 9 ತಿಂಗಳಿಗೆ ಹೂಡಿದರು. ಲಾಭ ₹5100 ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರ ಪಾಲು?
A ರ ಸಮನ್ವಯ = 5000 × 6 = 30000
B ರ ಸಮನ್ವಯ = 4000 × 9 = 36000
ಅನುಪಾತ = 30000 : 36000 = 5 : 6
A ರ ಪಾಲು = 5100 × 5/11 = ₹2318.18
B ರ ಪಾಲು = 5100 × 6/11 = ₹2781.82

6. ಮಿಶ್ರಣ ಮತ್ತು ಬೆರೆಸುವಿಕೆ (Mixtures – ಆಲಿಗೇಷನ್ ನಿಯಮ)

ಆಲಿಗೇಷನ್ ನಿಯಮ: ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬೆಲೆ p₁ ಮತ್ತು p₂ (p₁ < p₂) ರಂತೆ ಬೆರೆಸಿ ಸರಾಸರಿ ಬೆಲೆ pₘ ಸಿಗಬೇಕಾದರೆ ಅನುಪಾತ:

ಅಗ್ಗದ ಪ್ರಮಾಣ : ದುಬಾರಿ ಪ್ರಮಾಣ = (p₂ − pₘ) : (pₘ − p₁)

ಉದಾಹರಣೆ: ₹20/kg ಮತ್ತು ₹30/kg ಅಕ್ಕಿಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಬೆರೆಸಿದರೆ ಮಿಶ್ರಣದ ಬೆಲೆ ₹24/kg ಆಗುತ್ತದೆ?
= (30 − 24) : (24 − 20) = 6 : 4 = 3 : 2

7. ಪರಿಹೃತ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಇಬ್ಬರ ಆದಾಯದ ಅನುಪಾತ 5 : 4, ಖರ್ಚಿನ ಅನುಪಾತ 3 : 2. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ₹1000 ಉಳಿಸಿದರೆ ಆದಾಯಗಳು ಏನು?
ಆದಾಯ = 5x, 4x; ಖರ್ಚು = 3y, 2y.
5x − 3y = 1000 … (i); 4x − 2y = 1000 … (ii)
(ii) × 3/2: 6x − 3y = 1500. (i) ರಿಂದ ಕಳೆದರೆ: x = 500.
ಆದಾಯಗಳು = ₹2500 ಮತ್ತು ₹2000.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಒಂದು ಚೀಲದಲ್ಲಿ 25 ಪೈಸೆ, 10 ಪೈಸೆ, 5 ಪೈಸೆ ನಾಣ್ಯಗಳು 1 : 2 : 3 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ. ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ ₹30. ಪ್ರತಿ ಬಗೆಯ ನಾಣ್ಯಗಳೆಷ್ಟು?
ಸಂಖ್ಯೆ = x, 2x, 3x. ಮೌಲ್ಯ (ಪೈಸೆಯಲ್ಲಿ) = 25x + 10(2x) + 5(3x) = 60x.
60x = 3000 → x = 50.
ನಾಣ್ಯಗಳು = 50, 100, 150.

8. ಅಭ್ಯಾಸ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು (MCQs)