ಸಮಯ ಮತ್ತು ಕೆಲಸ (Time and Work)

Topiqos – KPSC/UPSC CSAT ಅಧ್ಯಯನ ಟಿಪ್ಪಣಿ

1. ಮೂಲ ತತ್ವ (Fundamental Principle)

ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿ ಒಂದು ಕೆಲಸವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು n ದಿನಗಳು ಬೇಕಾದರೆ:
- ಒಂದು ದಿನದ ಕೆಲಸ = 1/n

ಉಲ್ಟಾ, ಒಬ್ಬರ ಒಂದು ದಿನದ ಕೆಲಸ 1/n ಆದರೆ, ಪೂರ್ಣ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ n ದಿನಗಳು ಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ: ರಾಮ್ 8 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೆಲಸ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬಲ್ಲನೆಂದರೆ, ಅವನ 1 ದಿನದ ಕೆಲಸ = 1/8.

2. ಇಬ್ಬರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಜನ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ

A ಯು x ದಿನ, B ಯು y ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಒಟ್ಟಿಗೆ ಎಷ್ಟು ದಿನ?

ಒಟ್ಟು 1 ದಿನದ ಕೆಲಸ = 1/x + 1/y = (x + y)/(xy)
ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸಮಯ = xy/(x + y) ದಿನಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ: A 12 ದಿನ, B 18 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೆಲಸ ಮಾಡಬಲ್ಲರು. ಒಟ್ಟಿಗೆ ಎಷ್ಟು ದಿನ?
= (12 × 18)/(12 + 18) = 216/30 = 7.2 ದಿನ

3. LCM ವಿಧಾನ (ಶಾರ್ಟ್‌ಕಟ್)

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ದಿನಗಳ LCM ಅನ್ನು ಒಟ್ಟು ಕೆಲಸ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರ efficiency (ಒಂದು ದಿನದ ಕೆಲಸ) ಅನ್ನು ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ (units) ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: A 20 ದಿನ, B 30 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ. ಒಟ್ಟಿಗೆ ಎಷ್ಟು ದಿನ?
LCM(20, 30) = 60. ಒಟ್ಟು ಕೆಲಸ = 60 ಘಟಕಗಳು.
A ಯ efficiency = 60/20 = 3 ಘಟಕ/ದಿನ.
B ಯ efficiency = 60/30 = 2 ಘಟಕ/ದಿನ.
ಒಟ್ಟಿಗೆ = 3 + 2 = 5 ಘಟಕ/ದಿನ.
ಸಮಯ = 60/5 = 12 ದಿನ

4. ಮೂರು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಮಸ್ಯೆ

A + B + C ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದಾಗ:

1/A + 1/B + 1/C = 1/T (T = ಒಟ್ಟಿಗೆ ದಿನಗಳು)

ಉದಾಹರಣೆ: A + B = 8 ದಿನ, B + C = 12 ದಿನ, A + B + C = 6 ದಿನ. C ಒಬ್ಬನೇ ಎಷ್ಟು ದಿನ?
1/(A+B+C) = 1/6; 1/(A+B) = 1/8.
C ಯ 1 ದಿನದ ಕೆಲಸ = 1/6 − 1/8 = (4 − 3)/24 = 1/24.
ಆದ್ದರಿಂದ C ಒಬ್ಬನೇ 24 ದಿನ.

5. ಸಂಬಳ ಹಂಚಿಕೆ (Wages)

ಸಂಬಳವು efficiency ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: A 10 ದಿನ, B 15 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಕೆಲಸ. ಒಟ್ಟಿಗೆ ಮಾಡಿ ₹1500 ಗಳಿಸಿದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರ ಪಾಲು?
efficiency ಅನುಪಾತ = (1/10) : (1/15) = 3 : 2
A ಪಾಲು = 1500 × 3/5 = ₹900
B ಪಾಲು = 1500 × 2/5 = ₹600

6. ಪೈಪ್ ಮತ್ತು ತೊಟ್ಟಿ (Pipes and Cisterns)

ಒಳ ಬರುವ ಪೈಪ್ (Inlet): ಧನಾತ್ಮಕ (+)
ಹೊರ ಹೋಗುವ ಪೈಪ್ (Outlet): ಋಣಾತ್ಮಕ (−)

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಪೈಪ್ A 6 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ತೊಟ್ಟಿ ತುಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಪೈಪ್ B 8 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಖಾಲಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ತೆರೆದರೆ?
1 ಗಂಟೆಯ ಕೆಲಸ = 1/6 − 1/8 = (4 − 3)/24 = 1/24
ಆದ್ದರಿಂದ ತೊಟ್ಟಿ 24 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಪೈಪ್ A 10 ಗಂಟೆ, ಪೈಪ್ B 15 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ತೊಟ್ಟಿ ತುಂಬಿಸಬಲ್ಲವು. ಎರಡೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಎಷ್ಟು ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬುತ್ತವೆ?
= (10 × 15)/(10 + 15) = 150/25 = 6 ಗಂಟೆ

7. ಪರಿಹೃತ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1: 10 ಜನ ಕೆಲಸಗಾರರು 15 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೆಲಸ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬಲ್ಲರು. 25 ಜನ ಎಷ್ಟು ದಿನ?
M₁ × D₁ = M₂ × D₂
10 × 15 = 25 × D₂ → D₂ = 150/25 = 6 ದಿನ

ಉದಾಹರಣೆ 2: A ಒಂದು ಕೆಲಸವನ್ನು 20 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಲ್ಲನು. 5 ದಿನಗಳ ನಂತರ B ಸೇರುತ್ತಾನೆ, ಇಬ್ಬರೂ ಸೇರಿ 5 ಹೆಚ್ಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ. B ಒಬ್ಬನೇ ಎಷ್ಟು ದಿನ?
A ಯ 5 ದಿನಗಳ ಕೆಲಸ = 5/20 = 1/4
ಉಳಿದ ಕೆಲಸ = 3/4, ಇದನ್ನು ಇಬ್ಬರೂ 5 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದರು.
1 ದಿನದ ಒಟ್ಟು ಕೆಲಸ = 3/20
1/20 + 1/B = 3/20 → 1/B = 2/20 = 1/10 → B = 10 ದಿನ

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಎರಡು ಪೈಪ್‌ಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ತೊಟ್ಟಿ 4 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬಿಸಬಲ್ಲವು. ದೊಡ್ಡ ಪೈಪ್ ಚಿಕ್ಕ ಪೈಪ್‌ಗಿಂತ 6 ಗಂಟೆ ವೇಗವಾಗಿ ತುಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಎಷ್ಟು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತುಂಬಿಸುತ್ತದೆ?
ಚಿಕ್ಕ = x, ದೊಡ್ಡ = x − 6.
1/x + 1/(x−6) = 1/4
4(x−6) + 4x = x(x−6) → 8x − 24 = x² − 6x → x² − 14x + 24 = 0 → (x−12)(x−2) = 0 → x = 12
ಚಿಕ್ಕ = 12 ಗಂಟೆ, ದೊಡ್ಡ = 6 ಗಂಟೆ.

8. ಅಭ್ಯಾಸ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು (MCQs)